Dokładność pomiarów

Spis treści

      1. Błąd i niepewność pomiaru

      Z inicjatywy Międzynarodowego Komitetu Miar (CIPM) w 1995 roku zostały określone międzynarodowe normy ISO opisujące niepewności pomiarowe.
      Polską wersję normy wydał w 1999 roku Główny Urząd Miar i nosi ona tytuł: ISO/IEC Guide 98-3:2008 Niepewność pomiaru. Część 3: Przewodnik wyrażania niepewności pomiarów (GUM:1995).
      Jednym z podstawowych terminów tej normy jest „niepewność" (ang. uncertainty).
      W języku potocznym słowo „niepewność” oznacza wątpliwość co do wartości wyniku pomiaru.
      Zgodnie z definicją zawartą w normie ISO/IEC Guide 98-3 niepewność pomiaru jest parametrem związanym z wynikiem pomiaru, charakteryzującym rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej („niepewność” jest zawsze liczbą).
      1.1. Niepewność pomiaru jest wynikiem oddziaływania wielu możliwych źródeł, do których należą:
      1) niepełna definicja wielkości mierzonej;
      2) niedoskonałości charakterystyk technicznych przyrządu (histereza, rozrzut wskazań, określona rozdzielczość);
      3) niedoskonała realizacja wielkości mierzonej;
      4) niereprezentatywne pomiary, których wyniki mogą nie reprezentować wielkości mierzonej;
      5) niepełna znajomość wpływu warunków środowiskowych na procedurę pomiarową (temperatura, wilgotność)
          lub niedoskonały pomiar parametrów charakteryzujących te warunki;
      6) subiektywne błędy obserwatora w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych (błąd paralaksy);
      7) skończona zdolność rozdzielcza lub próg pobudliwości przyrządu;
      8) niedokładne znane wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia;
      9) niedokładne znane wartości stałych i innych parametrów, otrzymywanych ze źródeł zewnętrznych i stosowanych;
         w procedurach przetwarzania danych;
    10) upraszczające przybliżenia i założenia stosowane w metodach i procedurach pomiarowych.

      1.2. Norma ISO/IEC98-3 wprowadza rozróżnienie między „niepewnością pomiarów” a „błędami” w potocznym tego słowa znaczeniu oraz przyjmuje jednolitą terminologię i metody określania niepewności pomiaru.

      Określone zostały również dwa znaczenia słowa „błąd”:
      1) ilościowe - jako różnicę (nieznaną) między wartością zmierzoną i prawdziwą,
      2) jakościowe - używane w terminach takich jak: błąd systematyczny, przypadkowy i gruby.
      Dotychczas słowo „błąd” miało dwa znaczenia, jako nazwa dla faktu, że wynik pomiaru jest rożny od wartości prawdziwej (rzeczywistej, która jest nieznana), oraz jako liczbowa miara tego błędu.

▲ do góry

      2. Charakteryzowanie dokładności pomiaru

      Ograniczona dokładność użytych narzędzi pomiarowych oraz wpływ zmiennych warunków zewnętrznych na badany obiekt i na układ pomiarowy, a także niedostateczna znajomość wszystkich okoliczności związanych z badanym zjawiskiem powodują, że otrzymany wynik pomiaru różni się od wartości rzeczywistej (prawdziwej) wielkości mierzonej.
      Miarą takiego porównania określa się dokładność pomiaru, która jest podstawową cechą zarówno narzędzi pomiarowych, jak i wyników pomiarów.
      Z pomiarem związana jest niepewność uzyskanego wyniku nazywana błędem pomiaru. Jest to rozbieżność między wynikiem pomiaru, a wartością rzeczywistą mierzonej wielkości. Dokładność charakteryzuje się pośrednio, podając właściwość przeciwną: błąd lub niepewność pomiaru.

      Elementarną i podstawową miarą liczbową (algebraiczną różnicą) między wartością zmierzoną (wynikiem pomiaru) X a wartością rzeczywistą Xp wielkości mierzonej jest błąd bezwzględny ΔX pomiaru, zapisany następująco:

ΔX = X Xp

      gdzie:
       X - jest wartością wielkości mierzonej, której błąd wyznacza się, a więc jest wynikiem pomiaru, wskazaniem przyrządu
            pomiarowego, nominalną (przyjętą) wartością wzorca;
      Xp- jest wartością rzeczywistą wielkości mierzonej, która powinna być otrzymana jako poprawny wynik pomiaru,
            poprawne wskazanie przyrządu albo wartość, którą powinno się przypisać wzorcowi.
            W praktyce wartość rzeczywista nie jest znana i zastępowana, z dokładnym przybliżeniem, wartością umownie
            prawdziwą (poprawną) wielkości mierzonej, akceptowalną w danych okolicznościach.
            Uważa się, że wartość Xp będzie dokładne wówczas, gdy jego niepewność jest pomijalnie mała w stosunku do
            ΔX (± 10 do ± 20% ΔX ).

      W praktyce błąd bezwzględny ΔX jest otrzymywany w przybliżeniu z analizy dokładności i służy do dalszych obliczeń.
      Błąd bezwzględny ΔX, lecz ze znakiem przeciwnym, nazywa się poprawką:

pX = – ΔX

      Jeżeli do wartości uzyskanej z pomiarów X zostanie dodana poprawka pX, otrzymuje się wynik równy wartości poprawnej Xp:

Xp= X + pX

      Do wyrażania błędu i niepewności stosowana jest również skala względna. Wówczas mówi się zarówno o niepewności granicznej względnej, jak i - odpowiednio - o błędzie względnym lub o błędzie granicznym względnym.
      Błąd względny pomiaru δX jest to stosunek błędu bezwzględnego ΔX do wartości rzeczywistej wielkości mierzonej Xp, czyli:

 

      lub wyrażonego w procentach:

 

      Graniczny błąd względny procentowy jest to największy dopuszczalny błąd względny miernika, który jest podstawą do zaliczenia go do odpowiedniej klasy dokładności oraz określa błąd miernika w normalnych warunkach użytkowania. Błąd względny miernika umożliwia porównanie dokładności przyrządów pomiarowych różnych typów pracujących na różnych zakresach pomiarowych, np.

 

      Błąd względny lepiej charakteryzuje dokładność pomiaru niż błąd bezwzględny, bo zawiera informacje o wartości błędu bezwzględnego i rozmiarach wielkości mierzonej.

      Niedokładność pomiaru wynika głównie z istnienia dopuszczalnego błędu systematycznego narzędzia pomiarowego określonego jego klasą dokładności,

      Klasa dokładności przyrządu jest to maksymalny błąd bezwzględny ΔX popełniany w dowolnym miejscu skali, obliczony jako błąd procentowy w stosunku do pełnego zakresu pomiarowego, zaokrąglony do jednej z szeregu znormalizowanych klas dokładności, np. 0 - 1 - 0,2 - 0,5 - 1 - 1,5 - 2,5 i 5.

▲ do góry

      3. Błąd graniczny i dokładność pomiaru

      W praktyce miarą niedokładności pomiaru są graniczne błędy pomiaru oznaczone np. jako ∆minX i ∆maxX, wyznaczające najmniejszy przedział wokół zmierzonej wartości X, wewnątrz którego znajduje się wartość rzeczywista Xp;

X - ∆minXXp ≥ ∆maxX

      co jest równoznaczne z nierównością:

minX ≤ ∆XX - ∆maxX

      Zwykle:

minX =  − ∆maxX = ∆gX

      i wówczas:

X − ∆gXXpX + ∆gX

            A zatem, nierówność tę zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci:

Xp = X ± ∆gX

      przy czym:
      Xp - wartość rzeczywista wielkości mierzonej;
      X - wartość zmierzona zapisana z uwzględnieniem odpowiedniej ilości miejsc znaczących;
      ∆gX - błąd graniczny pomiaru.

      Wynikiem pomiaru (wartością rzeczywistą wielkości mierzonej, która powinna być otrzymana jako poprawny wynik pomiaru) są dwie liczby: wartość zmierzona X i błąd graniczny ∆gX.
      Wniosek: sam wynik pomiaru bez oceny jego niedokładności (błędu granicznego) nie zawiera użytecznej informacji i jest bezwartościowy.

▲ do góry

      4. Klasyfikacja błędów pomiarowych

      Wynik pomiaru na ogół różni się od wartości prawdziwej (rzeczywistej) wielkości mierzonej. Różnica między wynikiem pomiaru a wartością prawdziwą wielkości mierzonej nazywa się błędem pomiaru.
      Zachowanie się błędów pomiarów tej samej wielkości mierzonej, przy kolejnym powtarzaniu doświadczenia pomiarowego, stanowi ogólne kryterium podziału, które rozróżnia błędy losowe nazwane błędami systematycznymi i nielosowe - błędami przypadkowymi.
      W praktyce pomiarowej wyróżnia się trzy rodzaje błędów:
      1) błędy systematyczne (podstawowe, dodatkowe i metody),
      2) błędy przypadkowe oraz
      3) błędy nadmierne.

      4.1. Błędy systematyczne
      Pod pojęciem błędu systematycznego rozumie się różnicę między wieloma pomiarami tej samej wartości pewnej wielkości, wykonywanych w warunkach, które obejmują: tę samą procedurę pomiarową, tego samego obserwatora, ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych samych warunkach, a wartością prawdziwą wielkości mierzonej.
      Błędami systematycznymi są błędy, które podczas pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostają stałe - zarówno co do wartości bezwzględnej, jak i co do znaku lub błędy zmieniające się według określonego prawa wraz ze zmianą warunków.

      Do źródeł powstawania błędów systematycznych zalicza się:
      a) przyrządy pomiarowe, np. skończona rezystancja wewnętrzna woltomierzy, nieliniowość wskazań
          przyrządów pomiarowych lub niedoskonałość ich wzorcowania,
      b) metody pomiarowe, zastosowanie nieodpowiedniej metody pomiarowej,
      c) obserwatora, np. brak doświadczenia, zmęczenie, skłonności, nawyki,
      d) obliczenia, to błędy przy niewłaściwym zaokrągleniu, niewłaściwe metody wyrównywania błędów,
      e) wpływ otoczenia na mierzącego, na przyrządy i na mierzoną wielkość. Czynnikami wywołującymi
          błędy pomiaru mogą być: temperatura, ciśnienie, wilgotność powietrza, zakłócenia elektromagnetyczne.
      Charakterystyczną cechą błędów systematycznych jest możliwość całkowitego lub częściowego ich usunięcia z wyniku pomiaru za pomocą poprawek, które można obliczyć lub wyznaczyć doświadczalnie.

      Ze względu na warunki fizyczne, w jakich przeprowadzany jest pomiar, wśród błędów systematycznych wyróżnia się błędy podstawowe, dodatkowe i metody:
      1) Błędy podstawowe są to błędy przyrządów pomiarowych występujące podczas stosowania ich w warunkach
          znamionowych (odniesienia), dla których określono właściwości metrologiczne przyrządu, np. wzorcowania
          i niedokładności konstrukcyjne oraz technologiczne. Błędy podstawowe są błędami stałymi i mogą być w czasie
          pomiaru kompensowane przez stosowanie poprawek do wskazań przyrządów. Poprawka jest równa wartości
          oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym;
      2) Błędy dodatkowe są to błędy, których źródłem są zmiany właściwości przyrządów pomiarowych i obiektu
          pomiaru pod wpływem zmian warunków pomiaru w stosunku do przyjętych jako warunki odniesienia. Cechą
          charakterystyczną błędów dodatkowych jest to, że ich wartości zmieniają się przy ustalonej wartości wielkości
          mierzonej, według znanego prawa, jako funkcje wielkości wpływowych. Normalne warunki wpływowe i wartości
          błędów dodatkowych podawane są przez producentów aparatury pomiarowej;
      3) Błędy metody wynikają głównie z oddziaływania przyrządów pomiarowych na obiekt pomiaru, np. powodowane
          poborem energii przez przyrząd ze źródła sygnału mierzonego. Wśród błędów metody ważną grupę stanowią błędy
          związane ze sposobem pobierania informacji o wielkości mierzonej, właściwości narzędzia pomiarowego lub nieścisłości
          sposobu opracowywania wyników pomiarów. Błędy metody można na ogół sprowadzić do wartości pomijalnych przez
          stosowanie odpowiednich poprawek korekcyjnych lub właściwy dobór warunków pomiaru.

      4.2. Błędy przypadkowe
      Błędami przypadkowymi są błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany (przypadkowy, losowy), podczas wykonywania dużej liczby pomiarów tej samej wielkości w warunkach praktycznie niezmiennych.
      Do głównych przyczyn powstawania błędów przypadkowych zalicza się:
      a) niedoskonałość zmysłów obserwatora i brak dostatecznej koncentracji podczas pomiarów,
      b) rozrzut wskazań przyrządów pomiarowych powodowany niestałością ich właściwości statycznych i dynamicznych,
      c) krótkotrwałe zmiany wielkości wpływowych.
      Błędów przypadkowych nie można usunąć z wyników pomiarów przez dodanie poprawek, ponieważ wartości tych poprawek są na ogół nieznane. Ograniczenie wpływu błędów przypadkowych uzyskuje się przez wielokrotny pomiar tej samej wartości wielkości mierzonej i przyjęcie średniej arytmetycznej jako wyniku ostatecznego.
      Na podstawie serii pomiarów i rachunku prawdopodobieństwa ustala się granice, w których znajdują się błędy przypadkowe (przedział niepewności końcowego wyniku pomiaru).

      Błędy przypadkowe ujawniają się zwłaszcza w pomiarach bardzo precyzyjnych, w których są stosowane narzędzia o dużej dokładności i dużej rozdzielczości. W pomiarach laboratoryjnych i często w przemysłowych rozdzielczość przyrządów jest zbyt mała, aby ujawniły się błędy przypadkowe. Przy pomiarach przyrządami klas 0,5 i gorszych, poprawki będą nieznane. W takich przypadkach należy oszacować niepewność wyniku pomiaru na podstawie niepewności zastosowanych przyrządów pomiarowych.

      4.3. Błędy nadmierne
      Błędy nadmierne, zwane omyłkami lub błędami grubymi, wynikają z nieprawidłowego wykonania pomiarów, powodują jawne zniekształcenie wyniku pomiaru.
      Do przyczyn pojawienia się tych błędów zalicza się:
       - nieprawidłowy odczyt lub błędny zapis wyniku pomiaru,
       - zastosowanie niewłaściwego przyrządu lub pomiar przyrządem uszkodzonym.

      Błędy nadmierne są w zasadzie błędami przypadkowymi o bardzo małym prawdopodobieństwie wystąpienia. Wyniki pomiarów obarczone błędami nadmiernymi są niewiarygodne i nie są uwzględniane przy obliczaniu końcowych wyników pomiarów.

      W praktyce pomiarowej stosuje się, dla celów organizacyjnych i doboru właściwej metody pomiaru, podział na pomiary techniczne i dokładne. W pomiarach technicznych wykorzystuje się metody już wypróbowane, których błędy są znane i wiadomo, że błędy systematyczne są znacznie większe od przypadkowych. Dlatego wykonuje się na ogół jeden pomiar wielkości i - po usunięciu ewentualnych błędów metody - określa się jego dokładność, zazwyczaj przez wyznaczenie systematycznego  błędu granicznego.
      W pomiarach dokładnych głównym błędem jest błąd przypadkowy.

      Wskazania przyrządów pomiarowych są obarczone błędami systematycznymi i przypadkowymi. Jeżeli błędy systematyczne (podstawowe i dodatkowe) są znane, to powinno się je usunąć przez dodanie odpowiednich poprawek.
      Poprawki korekcyjne mogą być określone na podstawie:
       - narzędzi pomiarowych najwyższych klas dokładności,
       - wykresów poprawek zamieszczonych w dokumentacji lub w dokumentacji techniczno - ruchowej oraz
       - wyznaczone za pomocą wzorcowego narzędzia pomiarowego, którego wskazanie uznaje się za poprawne.

      Błędy systematyczne powinny być eliminowane przez:
       - dobór odpowiedniej metody pomiarowej i przyrządów,
       - staranne zabezpieczenie układu przed wpływem czynników zewnętrznych,
       - stosowanie poprawek korekcyjnych, umożliwiających usunięcie błędów metody i błędów wskazań przyrządów.

▲ do góry

      5. Opracowanie wyników pomiarów

      Jednym z podstawowych warunków sporządzenia dokładnej dokumentacji z prób i pomiarów jest prawidłowy zapis wyników pomiarów i obliczeń. Zapis wyniku pomiaru powinien umożliwiać ocenę dokładności, z jaką została określona wartość wielkości mierzonej.

      O sposobie zapisu wyników decydują następująca zasady:
      1) Wartość liczbowa uzyskana z pomiaru powinna mieć taką liczbę cyfr znaczących, aby tylko ostatnia lub przedostatnia
          były niepewne (tzn. zmieniały się w trakcie pomiaru). Cyframi znaczącymi są cyfry 0÷9 z wyjątkiem cyfry 0 stojącej na
          początku ułamka dziesiętnego lub na końcu liczby, chyba, że są przesłanki wskazujące na to, że 0 na końcu też jest
          znaczące.
          Wyniki pomiarów mają skończoną dokładność i są podawane w postaci liczb przybliżonych. Dokładność liczby
          przybliżonej zależy od liczby cyfr znaczących. Cyfrą znaczącą jest każda cyfra z wyjątkiem zer na początku liczby
          dziesiętnej. Na przykład liczba 18,4200 jest dokładniejsza niż liczba 18,42, ponieważ pierwsza ma sześć liczb
          znaczących, a druga 4. Natomiast liczba 0, 0031 ma tylko dwie cyfry znaczące i jest mniej dokładna niż 31,00.
          W końcowym wyniku pomiaru pozostawia się ostatnią cyfrę na tym miejscu, na którym występuje niepewność.
          Niepewność wyniku końcowego podaje się z jednym miejscem znaczącym (lub z dwoma). Dla zaznaczenia
          ilości cyfr znaczących, wygodnie jest posługiwać się mnożnikiem 10n lub stosować odpowiednie jednostki
          pochodne danej wielkości. Na przykład:

          1230 = 1,23 ∙ 103 - cztery lub trzy liczby znaczące
          0,012 = 12 ∙ 10-3 - dwie liczby znaczące
          0,120 = 12 . 10-2 - dwie liczby znaczące

          Jeśli będziemy mieli do czynienia z serią pomiarową, w której jeden z wielu z wyników kończy się zerem, to 0 jest
          także cyfrą znaczącą, ponieważ zapis wszystkich wyników powinien się odbywać z dokładnością do tej samej liczby
          miejsc znaczących. Stosowanie się do tej zasady daje pewność, jaką jest wartość ostatniej cyfry znaczącej;

      2) Przy dodawaniu i odejmowaniu uwzględniamy tylko te cyfry znaczące, które występują we wszystkich składnikach;
      3) W celu dokonania właściwego zaokrąglenia wyniku działania matematyczne przeprowadza się z uwzględnieniem
          najwyżej jednej cyfry znaczącej więcej niż w końcowym wyniku obliczeń;
      4) Zaokrąglenia wyniku dokonujemy w ten sposób, że jeżeli następna cyfra po cyfrze najmniej znaczącej jest mniejsza
          od 5, to najmniejszą cyfrę znaczącą pozostawiamy bez zmian, a jeżeli jest większa, to najmniejszą cyfrę znaczącą
          zwiększamy o 1. Jeżeli następna cyfra po najmniejszej cyfrze znaczącej jest równa 5, to wynik zwiększamy o jeden
          na najmniej znaczącej cyfrze, jeżeli jest ona nieparzysta a zmniejszamy, jeżeli jest ona parzysta. Warto w tym
          miejscu zwrócić uwagę na fakt, że zaokrąglając liczby np. 121,5 oraz 122,5 do liczb całkowitych otrzymamy ten sam
          wynik 122;
      5) W związku ze specyficzną rolą cyfry 5 w zaokrąglaniu wyników dobrze jest także wiedzieć, jaka cyfra występuje po niej,
          ponieważ liczbę 122,51 można już zaokrąglić do liczby 123, a nie do 122, że błąd jest miarą niewiarygodności ostatniej
          cyfry znaczącej wartości liczbowej (lub dwóch ostatnich cyfr), nie zapisuje się go z większą dokładnością niż za pomocą
          jednej cyfry znaczącej. Błąd można zapisać z dokładnością do dwóch cyfr znaczących tylko w następujących sytuacjach:
          - przy bardzo dokładnych pomiarach,
          - jeśli ma być użyty do dalszych obliczeń,
          - jeśli pierwszą cyfrą znaczącą jest 1 (lub 2).

▲ do góry

Menu serwisu